Куликов родился в Москве и начал заниматься футболом в команде «Приалит». Вскоре Даниил прошёл просмотр в Академии «Локомотива», однако спустя год его отправили в «Локомотив-2», где он играл до самого выпуска. Сразу попасть в молодёжную команду у Куликова не получилось — пришлось выступать на КФК, где его заметили тренеры молодёжной команды Денис Клюев и Ансар Аюпов и позвали на сборы.

В 2016 году Куликов вместе с молодёжкой выиграл первенство России, в 2017-м впервые поехал на сборы с главной командой, в 2018-м дебютировал за «Локомотив». В 2019-м стал обладателем Кубка и Суперкубка России.