Соломон Кверквелия родился 6 февраля 1992 года в Самтредиа (Грузия). В футбол Соломона отдал его отец, который был ярым болельщиком. С семи лет Кверквелия играл в местной команде «Глория», в 13 переехал в Тбилиси, где занимался сначала в школе «Динамо», а затем в академии Тенгиза Сулаквелидзе.

В 2009 году футболист попал на просмотр в «Зенит» и подписал контракт с петербургским клубом, но выступал только за молодежную команду. После одного из матчей «Зенита» против «молодежки» «Рубина» на Кверквелию обратили внимание казанские селекционеры.

За основной состав «Рубина» футболист дебютировал 17 июля 2011 года в 1/16 Кубка России с «Уралом». Именно в казанской команде защитник провел первый матч в премьер-лиге, а также дебютировал в еврокубках. Всего за «Рубин» Кверквелия отыграл 111 матчей и забил три гола.

Соломон выступал за юношескую и молодежную сборную Грузии. 5 марта 2014 года Кверквелия дебютировал за главную команду страны.