Дмитрий Баринов родился 11 сентября 1996 года в городе Огуднево — Щёлковский район Московской области. Заниматься футболом начал в местной школе «Селена». Вскоре перебрался в академию щёлковского «Спартака», которую сменил на фрязинский «Олимп», после чего перешёл в училище олимпийского резерва «Мастер-Сатурн». Отсюда и начался путь Баринова в большой футбол.

После двух лет в раменском клубе Дмитрий ушёл в академию «Локомотива». В 2013 году Баринова начали привлекать к матчам за молодёжную команду «железнодорожников», а также в юношескую сборную России.

Воспитанник Академии «Локомотива» дебютировал за первую команду в мае 2015 года. Свой восьмой сезон Дмитрий начал в качестве вице-капитана, а с октября 2021 года полноценно приступил к исполнению капитанских обязанностей в связи с травмой Гилерме. В сезоне-2021/22 Баринов примерил капитанскую повязку и в матчах за национальную сборную России.

С сезона-2022/23 полузащитник вновь стал капитаном основной команды «железнодорожников».

До перехода в ЦСКА зимой 2026 года провёл за «Локо» 274 матча, забил 13 мячей, стал чемпионом России, четырёхкратным обладателем Кубка и победителем Суперкубка.